Processus de Branchement Spatial

Les processus de branchement spatiaux sont des processus de branchement dont les particules, en plus de se reproduire, se déplacent dans un espace, euclidien ou abstrait, généralement selon un processus de Markov. Ces processus peuvent être définis en temps discret ou continu, avec des déplacements à sauts ou continus, et avec une hétérogénéité spatiale ou non. Ces processus sont étudiés au moins depuis les années 1950 [1,2] et apparaissent comme modèles en dynamique des populations ou génétique des populations, ainsi que dans des modèles de physique nucléaire ou encore physique statistique. Ces processus de branchement spatiaux ont depuis connu de nombreux développements et forment un domaine de recherche très actif de nos jours. Un exemple est le comportement en temps long de ces processus qui ont été étudiés notamment par des membres ou membres associés du GdR [3,4]. Des modèles de fission nucléaire ou encore des processus de croissance-fragmentation (voir ci-dessous) peuvent également être considérés comme des classes spécifiques de processus de branchement spatiaux. Finalement, les superprocessus sont des limites d’échelle de certains processus de branchement spatiaux avec un branchement critique et sont également très étudiés depuis les années 1980, notamment à travers leur lien avec des arbres aléatoires [4].
Les marches aléatoires branchantes et le mouvement brownien branchant sont des exemples particuliers de processus de branchement spatiaux, où le déplacement spatial est donné par une marche aléatoire ou un mouvement brownien. Ils ont été étudiés de manière particulièrement fine et précise, notamment pendant la dernière décennie [6]. Leur intérêt est notamment dû au fait qu’ils partagent beaucoup de propriétés avec de nombreux autres modèles tel que le champ libre gaussien deux-dimensionnel ou autres champs gaussiens dits “log-corrélés”, mais aussi l’équation de réaction-diffusion FKPP, voir ci-dessous. Certains membres du GdR ont grandement participé à leur étude, notamment concernant les particules extrémales [7,8] et l’influence de sélection [9-12]. Ces références illustrent l’étroite collaboration entre mathématiciens et physiciens sur ce sujet.
Du fait de la très vaste littérature sur les processus de branchement spatiaux, certaines techniques reviennent régulièrement dans différents contextes, notamment la décomposition épinale [8], et appellent donc à une communication fluide entre différentes communautés, but de ce GdR.

Références

1. Stochastic processes for particles diffusing in a bounded domain with absorbing boundaries
B. A. Sevast’yanov, Theory Probab. its Appl., vol. 3, pp. 111–126, 1958.: 2. Strong Law of Large Numbers for branching diffusions
J. Engländer, S. C. Harris, and A. E. Kyprianou, Ann. l’Institut Henri Poincaré Probab. Stat., vol. 46, no. 1, pp. 279–298, Feb. 2010.: 3. A non-conservative Harris’ ergodic theorem
V. Bansaye, B. Cloez, P. Gabriel, and A. Marguet, 2019: 4. Spatial branching processes, random snakes and partial differential equations
J.-F. Le Gall, . Springer Science & Business Media, 1999.: 5. Branching random walks
Z. Shi, vol. 2151. Springer, Cham, 2015.: 6. Minimal position and critical martingale convergence in branching random walks, and directed polymers on disordered trees
Y. Hu and Z. Shi, Ann. Probab., vol. 37, no. 2, pp. 742–789, Mar. 2009.: 7. A branching random walk seen from the tip
É. Brunet and B. Derrida, J. Stat. Phys., vol. 143, no. 3, pp. 420–446, Apr. 2011.: 8. Phenomenological theory giving the full statistics of the position of fluctuating pulled fronts
É. Brunet, B. Derrida, A. Mueller, and S. Munier, Phys. Rev. E, vol. 73, no. 5, p. 056126, May 2006.: 9. Speed and fluctuations of N-particle branching Brownian motion with spatial selection
P. Maillard, Probab. Theory Relat. Fields, vol. 166, no. 3, pp. 1061–1173, 2016.: 10. N-Branching random walk with α-stable spine
B. Mallein, Theory Probab. Its Appl., vol. 62, no. 2, pp. 295–318, 2018.: 11. Velocity of the L-branching Brownian motion
M. Pain, Electron. J. Probab., vol. 21, p. no. 28, 1-28, Oct. 2016.

Voir aussi

Processus de Galton-Watson, Champs gaussiens log-corrélés, Processus de croissance-fragmentation, Équations de Réaction-Diffusion, Développement embryonnaire, Processus en milieu aléatoire