Processus de branchement à espace d'états continu

Les processus de branchement en temps et espace continus (CSBPs) sont des processus de Markov réels positifs représentant l’évolution de la taille d’une population aléatoire continue dans laquelle les individus se reproduisent indépendamment et de la même façon. Ils généralisent la diffusion branchante de Feller (1958) et jouent depuis lors un rôle important dans de nombreux modèles aléatoires (modèles de population, modèles d’énergie, superprocessus, arbres aléatoires, cartes aléatoires, processus affines, coalescents,...). Au début des années 2000, des travaux profonds ont été menés pour comprendre la généalogie de la population associée à ces processus. Cela a mené à de nombreux résultats sur les arbres aléatoires de Lévy et sur certains flots de subordinateurs emboîtés [6, 7, 9, 12, 13, 14, 18]. De nouveaux travaux ont récemment permis d’étudier les généalogies ascendantes des CSBPs à travers des processus de coalescence Markoviens ou des processus ponctuels de coalescence: [2, 9, 19, 21, 23].
Les CSBPs ont été depuis généralisés dans de multiples directions. Des dynamiques d’immigration ont été très tôt considérées [24], enrichissant ainsi les comportements possibles aux frontières et en temps long (extinctions locales dans la population, récurrence) [1, 10, 19], et les généalogies [11, 17, 25]. Des liens importants ont été découverts entre processus conditionnés à la non-extinction et processus avec immigration [27]. Les CSBPs en environnement aléatoire ont également reçu une attention particulière [4, 5], si ces processus satisfont toujours une propriété de branchement, ils sont difficiles à étudier car l’environnement sous-jacent induit des équations différentielles stochastiques rétrogrades difficiles à manipuler. Encore dans une autre direction, sous l’impulsion d’un travail de Lambert [26], des modèles de population avec compétition entre les individus ont également été pris en compte récemment [3, 15, 16, 22, 29, 30, 31]. Dans ce cas la propriété de branchement classique n’est plus satisfaite et l’étude des processus nécessite une approche différente. Les comportements aux points frontières ainsi que l’étude des temps d’atteinte forment alors des questions intéressantes, qui bien que classiques dans la théorie générale des processus de Markov, sont rarement accessibles explicitement en présence de sauts (et donc d’un opérateur pseudo-différentiel du point de vue analytique). En présence d’interactions, différentes structures peuvent apparaître et remplacer celle de branchement lorsque des interactions sont prises en compte. Des relations de dualité, typiques en théorie des systèmes de particules, ont ainsi été utilisées pour étudier des processus de branchement avec interactions: [15, 16, 22]. Pour clore ce bref état de l’art sur les CSBPs, mentionnons3, 29, 32, les travaux récents portant sur la généalogie des populations avec interactions (arbres aléatoires “sous attaque” et représentations de type Ray-Knight) [3,29,32], ainsi que les travaux sur les processus de branchement multidimensionnels [8, 23].

Références

1. Changing the branching mechanism of a continuous state branching process using immigration
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Etienne Pardoux, Springer, 2016

Voir aussi

Processus de Galton-Watson, Processus de croissance-fragmentation, Modèles probabilistes pour l’écologie, Processus en milieu aléatoire.